Kruh a kružnica

Opakujeme z prvého stupňa

Kružnica

Kruh

Vyvodenie Ludolfovho čísla alebo tzv. čísla pí (π)

Obvod kruhu, dĺžka kružnice

Obsah kruhu

Vzájomná poloha priamky a kružnice

Vzájomná poloha dvoch kružníc

Tento školský rok okrem rysovania kružníc a kruhov pridáme aj výpočet obvodu a obsahu kruhu či dĺžky kružnice a to aj v slovných úlohách. Po troche počítania sa vrátime k rysovaniu Tálesovej kružnice, dotyčníc ku kružnici ako aj vzájomným prienikom kružníc. Základom riešenia však určite zostane nakreslenie správneho náčrtu a zakreslenie aj farebných čiar a plôch v ňom. Preto nezabudnite pri riešení nasledujúcej kapitoly na rysovacie pomôcky, farbičky a kalkulačku.

Môžete si pozrieť na obrazovke alebo vytlačiť a riešiť priamo v pracovných listoch.

Už dospeláckejšie.

Kružnica je množina bodov v rovine, ktoré majú od pevného bodu S (stredu kružnice) rovnakú vzdialenosť r (polomer kružnice).

Kruh je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu S (stredu kružnice) je menšia alebo rovná polomeru danej vzdialenosti r (polomer kruhu). Obvod kruhu tvorí hraničná kružnica.

Polomer je vzdialenosť určená stredom kružnice (kruhu) a bodom na kružnici (obvode kruhu).

Priemer je vzdialenosť dvoch bodov na kružnici (obvode kruhu), pričom úsečka, ktorá ich spája prechádza stredom kružnice (kruhu).

Tetiva kružnice

Tetiva je úsečka, ktorej koncové body ležia na kružnici, ostatné body ležia vnútri kružnice. Najdlhšou tetivou je priemer kružnice. Os tetivy prechádza stredom kružnice.

1. Daná je kružnica k (S, 3 cm), Vyznač na nej tetivu AB, ktorá prechádzajú stredom S a tetivu CD, ktorá je kolmá na tetivu AB.
2. Daná je k (S, 4 cm) a bod N, ktorý leží vo vnútri k, pričom S ≠ N. Zostroj tetivu XY tak, aby N bol stred XY.
3. Je daná kružnica k(S; 5 cm). Narysuj tetivu, ktorá bude od stredu kružnice vzdialená 3 cm.

Doplňte tabuľku. Odmerať môžete aj iné predmety. Vhodné je urobiť pokus na viacerých predmetoch. Lepšie je doplniť si aj ďalšie kruhy, ktoré vidíte okolo seba. Podiel odporúčame v treťom riadku vypočítať na kalkulačke na štyri desatinné čísla.

Ak všetko pôjde dobre, aritmetickým priemerom hodnôt v treťom riadku získame číslo podobné číslu 3,1415. Výsledná hodnota závisí od presnosti merania a ďalších výpočtov. Pomer obvodu a priemeru toho istého kruhu nazývame Ludolfovým číslom alebo číslom pí.

Na matematike základnej školy budeme používať číslo pí v dvoch možnostiach vyjadrenia. Vždy necháme na vás, ktorá sa vám bude lepšie hodiť vo výpočte. π = 3,14 alebo π = 22/7.

Obvod kruhu tvorí hraničná kružnica = dĺžka kružnice je o = 2πr alebo o = πd.

Prečo je to tak? Lebo podielom obvodu kruhu a jeho priemeru získame číslo pí, potom vyjadrením z tohto vzorca, dostaneme vzorec pre výpočet obvodu kruhu.

Obsah kruhu je S = πr² alebo S = π(d/2)².

Prečo je to tak? Odporúčame pozrieť na týchto videách

https://www.youtube.com/watch?v=PBGQsQ_U8w0

https://www.youtube.com/watch?v=vl6cD80l73w

1. Vypočítajte dĺžku kružnice, ktorej polomer je 24 dm.

2. Vypočítajte dĺžku kružnice, ktorej polomer je 2 m.

3. Vypočítajte dĺžku kružnice, ktorej priemer je 100,4 m.

4. Aký polomer má kruh, ktorého obvod je 1000 m?

5. Vypočítajte obsah kruhu s polomerom 0,83 m.

6. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého polomer je 37 cm.

7. Vypočítajte polomer kruhu, ktorého obsah je 2,0096 cm².

8. Vypočítajte polomer kruhu, ktorého obsah je 113,04 dm².

9. Vypočítajte obvod kruhu, ktorého obsah je 705,5 cm².

10. Vypočítajte obsah kruhu, ktorého obvod je 59,66 cm.

Kružnicový oblúk

Kružnicový oblúk je časť kružnice ohraničená dvomi bodmi, ktoré ležia na kružnici. Body M a L rozdeľujú kružnicu na dva kružnicové oblúky:

Oblúk MXL = časť kružnice ohraničená krajnými bodmi M,L, ktorá obsahuje bod X

Alfa = stredový uhol prislúchajúci ku kružnicovému oblúku MXL

Oblúk MYL = časť kružnice ohraničená bodmi M,L, ktorá obsahuje bod Y

Beta = stredový uhol prislúchajúci ku kružnicovému oblúku MYL

Dĺžku kružnicového oblúka prislúcha k veľkosti uhlu v danej kružnici. Dĺžku kružnicového oblúka preto vypočítame ako podiel dĺžky celej kružnice a 360° vynásobený veľkosťou príslušného uhla v stupňoch. o_alfa = o / 360° . alfa alebo o_alfa = 2πr / 360° . alfa alebo o_alfa = πd / 360° . alfa

Kruhový výsek

Kruhový výsek je časť kruhu, ktorú ohraničujú dva polomery SA, SB, ktoré rozdeľujú kruh na dva kruhové výseky.

Kruhový výsek ASB = obsahuje bod X

Kruhový výsek ASB = obsahuje bod Y

Obsah kruhového výseku prislúcha k veľkosti uhlu v danom kruhui. Obdah kruhového výseku preto vypočítame ako podiel obsahu celého kruhu a 360° vynásobený veľkosťou príslušného uhla v stupňoch. S_alfa = S / 360° . alfa alebo S_alfa = πr² / 360° . alfa

Pred počítaním príkladov odporúčame si pozrieť video: https://www.youtube.com/watch?v=-NmQAQp_nQA&pbjreload=101

1. Aká je v milimetroch dĺžka oblúka kružnice k (S, 68 mm), ktorý prislúcha stredovému uhlu 78°?

2. Aká je v centimetroch dĺžka oblúka kružnice k (S, 46 cm), ktorý prislúcha stredovému uhlu 30°?

3. Aká je v metroch dĺžka oblúka kružnice k (S, 74 m), ktorý prislúcha stredovému uhlu 72°?

4. Vypočítajte obsah kruhového výseku kruhu K (O,36 cm), ktorý prislúcha stredovému uhlu 52°.

5. Vypočítajte obsah kruhového výseku kruhu K (O,189 m), ktorý prislúcha stredovému uhlu 110°.

6. Vypočítajte obsah kruhového výseku kruhu K (O,5,4 dm), ktorý prislúcha stredovému uhlu 30°.

Pracovné listy na vytlačenie

Odporúčané videá na riešené úlohy pánom učiteľom Jozefom Zvolenským. Jožko, od vysokej sme sa nevideli, tak aspoň takto. A nemusím ich robiť ja.

https://www.youtube.com/watch?v=3VKQr3CADPY

https://www.youtube.com/watch?v=e_hm5FEwNPo

https://www.youtube.com/watch?v=9fN2iWf0GlI

https://www.youtube.com/watch?v=XLDIJy9hLoM

https://www.youtube.com/watch?v=l-q-I4PV2Y4

https://www.youtube.com/watch?v=fA-2VI6rRv4

Tálesova kružnica

Je množina vrcholov - mimo krajných bodov priemeru kružnice - pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou, ktorou je priemer kružnice.

Priemer kružnice na obrázku je označený AB. Potom podľa poučky - objavu p. Thálesa z Milétsu - vyznačené trojuholníky a aj všetky podobne vytvorené na kružnici sú pravouhlé.

1. Narysuj úsečku PQ s dĺžkou 75 mm. Zostroj jej stred a pomenuj ho S. Narysuj kružnicu t so stredom v bode S a polomerom SQ. Zvoľ na kružnici rôzne body A, B, C tak, aby ani jeden sa nestotožnil s bodmi P, Q. Zostroj trojuholníky PQA, PQB, PQC. Zmeraj uhly PAQ, PBQ, PCQ. Over čo vidíš na obrázku vyššie.

2. Narysuj úsečku AB dlhú 8 cm. Zostroj nad ňou Tálesovu kružnicu a v nej rovnoramenný trojuholník ABC. Vypočítaj jeho obsah.

Narysuj podľa postupu:

1. narysuj úsečku SY dlhú 73 mm

2. zostroj stred úsečky SY (konštrukčne) a pomenuj ho O

3. narysuj nad úsečkou SY Tálesovú kružnicu a pomenuj ju t

4. zostroj uhol SYX s veľkosťou 75°

5. priesečník polpriamky YX a kružnice t pomenuj P

6. narysuj úsečku PS

Ako nazývame trojuholník PSY podľa veľkosti vnútorných uhlov a ako podľa dĺžok strán?

1. Naryuj podľa postupu:

1. Naryuj kružnicu k so stredom v bode S a polomerom 6 cm. Na kružnici k zvoľ bod M.

2. Narysuj úsečku SM. Narysuj modrou farbičkou priamku p kolmú na úsečku SM, tak, aby prechádzala bodom M.

Modrá priamka p je dotyčnicou ku kružnici k.

2. Narysuj podľa postupu:

1. Narysuj úsečku SN dlhú 7 cm.

2. Narysuj kružnicu k so stredom v bode S a polomerom 4 cm.

3. Zostroj stred úsečky SN (konštrukčne) modrou farbičkou a pomenuj ho O. Narysuj kružnicu t so stredom v bode O a polomerom ON. Priesečníky kružnice t a kružnice k označ modrou farbou a pomenuj A a B.

4. Narysuj modrou farbičkou priamky NA a NB.

Modré priamky NA a NB nazývame dotyčnicami ku kružnici k, ktoré prechádzajú bodom N.

dezertný tanier

plytký tanier

miska pod kvetináčom

obvod (mm)

priemer (mm)

podiel obvodu a priemeru

1. Na kružnici k₁(S, r = 3,5 cm) zvoľte bod O. Zostrojte kružnice k₂(O, r = 1,5 cm) a k₃(O, r = 4 cm). Určte vzájomnú polohu kružníc k₁ a k₂; k₁ a k₃; k₂ a k₃.

2. Dané sú kružnice k₁(S₁,5 cm) a k₂(S₂,8 cm), pričom vzdialenosť ich stredov |S₁S₂| = 10 cm. Určte vzájomnú polohu.

3. Na číselnej osi okolo čísla 7 narysovali kružnicu s polomerom 6 a okolo čísla - 4 narysovali kružnicu s polomerom 5. Urči vzájomnú polohu kružníc.

4. Na číselnej osi okolo čísla - 10 narysovali kružnicu s polomerom 3,5 a okolo čísla - 6 narysovali kružnicu s polomerom 7,5. Urči vzájomnú polohu kružníc.