Téma pomeru a úmery je pre niektorých z nás náročná.
Pritom je asi najviac používaná v našom bežnom živote. Veď prepočítavanie receptov a ich surovín či na zadaný počet osôb, robíme dosť často. Alebo ste už asi zažili, ked vaše dieťa rozmýšľa koľko pozvať kamarátov na oslavu, aby mu zostal čo najväčší kúsok torty. Často sa bavíme o tom, kto vyhral či prehral a v akom pomere skončil zápas... Dnes pôjdeme na to matematicky.
Pomer na úsečke alebo ako rozdeliť úsečku neurčitej dĺžky v nejakom pomere či zmeniť dĺžku úsečky, o ktorej ani nevieme presnú dĺžku. Vravíte, že neviete o čom píšem? Možno si spomeniete na školu a možno na pokec učiteľky, ktorá vám určite nezabudla povedať, že to vedeli urobiť už v starovekom Grécku.
Zvyčajne úvod do priamej úmery začínam úlohou:
"Na 450 g medu je potrebných 1 152 včiel, ktoré musia navštíviť viac ako 4,5 milióna kvetov. Koľko kvetov musia navštíviť tieto včely, ak chceme získať kilo medu?"
Nechám deti nech sa zasmejú, neriešime. A po skončení témy, na poslednom teste je táto úloha ako prémiová.
Pomer
Pomer je iná forma zápisu koľkokrát sa nejaké číslo nachádza v inom. Alebo koľkokrát je jedno číslo väčšie alebo menšie ako druhé.
Video: https://www.youtube.com/watch?v=oKEjjaaxvYU alebo https://www.youtube.com/watch?v=U6hZkpaZicA
Pár príkladov.
V divadle bolo dvakrát viac detí ako dospelých zapíšeme pomerom takto: deti : dospelí = 2 : 1
Na tanečnom kurze bolo 15 chlapcov a 17 dievčat. Potom pomer napíšeme takto: chlapci : dievčatá = 15 : 17
Futbalový zápas skončil: Hostia : Domáci = 5 : 3
Odporučené riedenie sirupu je 1 : 8.
V zápise pomeru je veľmi dôležité poradie veličín. Na to nesmieme zabúdať.
Keď redaktor športových správ povie "Kocúrkovo prehralo s Bambuľkovom 3 : 2." Nepovedal pomer správne. Mal ho povedať obrátene 2 : 3. Vo vete je ako prvé povedané Kocúrkovo, ktoré prehralo, z čoho vyplýva, že získalo menší počet bodov či dalo menej gólov.
1) Napíš prevrátené pomery
a) 2 : 5 b) 15 : 12 c) 36 : 37
2) Veľmi často udávame pomer nejakých veličín v tvare 1 : x alebo x : 1. Uprav pomery tak, aby menší člen pomeru bol 1. To znamená, že obe čísla v pomere vydelíš menším pomerovým číslom
a) 25 : 5 b) 14 : 42 c) 50 : 110 d) 360 : 72
3) Nájdi najväčší spoločný deliteľ čísel v pomere a potom ním vydeľ obe čísla. Napíš tento pomer. Takémuto pomeru hovoríme, že je v základnom tvare.
a) 90 : 45 b) 18 : 24 c) 16 : 56 d) 96 : 12
Video: https://www.youtube.com/watch?v=LGNTGuP6I7E&list=PLtne73kUROZ_jtZuR1UUc4aRMqGV65rDB&index=7
V súčasnej dobe sa začal viac používať aj tzv. postupný pomer. Je to pomer, kde je zadefinovaný vzťah medzi viacerými veličinami.
Pár príkladov.
V jahodovom lekvári môžeme napríklad použiť: jahody : cukor : kyselina citrónová = 1 000 : 800 : 3
V pomarančovej limonáde: pomarančová šťava : citrónova šťava : sóda : med = 8 : 1 : 5 : 1
3) Nájdi najväčší spoločný deliteľ čísel v pomere a potom ním vydeľ všetky čísla. Napíš tento pomer. Takémuto pomeru hovoríme, že je v základnom tvare.
a) 90 : 45 : 30 b) 18 : 24 : 36 c) 16 : 56 : 24 d) 96 : 12 : 24 : 48
4) Ak sú v pomere desatinné čísla, potom vynásob všetky čísla číslom 10 alebo 100 alebo ... a keď budeš mať prirodzené čísla, postupuj ako v príklade 3. Napíš tento pomer.
a) 9 : 4,5 : 3 b) 1,8 : 2,4 : 3,6 c) 1 : 0,5 : 2 d) 0,25 : 2 : 0,5 : 1
Ak by si mal v pomere zlomky, potom musíš najprv pomer upraviť na prirodzené čísla, postupovať ako v príklad 3.
Niekedy rozdeľujeme v danom pomere
Rozdeľ 20 cukríkov v pomere 4 : 1.
To znamená, že vydelíme celok 20 cukríkov súčtom členov pomeru. 20 cukríkov : (4 + 1) = 20 cukríkov : 5 = 4 cukríky. Jeden diel má teda 4 cukríky. Po rozdelení na dve časti bude v prvej časti 4 . 4 cukríky = 16 cukríkov a v druhej časti 1 . 4 cukríky = 4 cukríky.
Rozdeľ 500 € trom brigádnikom v pomere 2 : 2 : 1.
Ako to vypočítame? 500 € : (2 + 2 + 1) = 500 € : 5 = 100 €. Jeden diel je teda 100 eur. Prvý brigádnik dostane 2 . 100 € = 200 €, druhý brigádnik dostane 2 . 100 € = 200 € a tretí brigádnik dostane 1 . 100 € = 100 €.
5) Rozdeľ čokoládu s 24-mi okienkami v pomere 3 : 5.
6) Veľkosti vnútorných uhlov v trojuholníku sú v pomere 3 : 4 : 5. Zapíš názov trojuholníka podľa veľkosti vnútorných uhlov a podľa dĺžok strán.
7) Mamička urobila 2 litre limonády z jahodového sirupu a vody, pričom použila riedenie 1 : 7, ktoré odporučili na balení sirupu. Koľko mililitrov sirupu a koľko mililitrov vody zmiešala mamička?
Zmena v danom pomere
Video: https://www.youtube.com/watch?v=zTDmoZG1gpg&list=PLtne73kUROZ_jtZuR1UUc4aRMqGV65rDB&index=13 a https://www.youtube.com/watch?v=5EDOFY8aBgY&list=PLtne73kUROZ_jtZuR1UUc4aRMqGV65rDB&index=14
Zmeň číslo 27 v pomere 2 : 3.
Ako číslo zmeníme? 27 : (2 : 3) = 27 . 2 : 3 = 54 : 3 = 18
Zmeň číslo 52 v pomere 5 : 2.
Ako číslo zmeníme? 52 : (5 : 2) = 52 . 5 : 2 = 130
8) Zmeň číslo 100 v pomere
a) 5 : 4 b) 4 : 5 c) 4 : 4 d) 5 : 5 e) 7 : 25 f) 13 : 10
Čo s úsečkou
Grafické zväčšovanie, zmenšovanie a rozdeľovanie úsečky.
https://www.youtube.com/watch?v=AuFRwZG5y-k
https://www.youtube.com/watch?v=_mJFI--ofTY
https://www.youtube.com/watch?v=U1LcbDCGPKw
Priama úmera
1) Koľko skrutiek vyrobí stroj za 5 hodín, ak za tri urobí 210 kusov?
Riešenie:
3 hodiny = 210 skrutiek
1 hodina = 210 skrutiek : 3 = 70 skrutiek
5 hodín = 70 skrutiek . 5 = 350 skrutiek
2) Auto ide po diaľnici priemernou rýchlosťou 120 km/h. Koľko kilometrov prejde za dve a pol hodiny?
Riešenie:
1 hodina = 120 km
2,5 hodiny = 120 km . 2,5 = 300 km
https://www.youtube.com/watch?v=7KrKatzr3oE
https://www.youtube.com/watch?v=1V79o3zr2VI&t=5s
https://www.youtube.com/watch?v=NA5TGsE4zw8
Nepriama úmera
1) Traja rovnako šikovní maliari vymaľovali byt za 12 hodín. Koľko hodín by maľovali byť štyria maliari, ak by boli rovnako šikovní ako tí predtým?
Reišenie:
3 maliari = 12 hodín
1 maliar = 12 hodín . 3 = 36 hodín
4 maliari = 36 hodín : 4 = 9 hodín
2) V ZOO nachystali potravu pre štyri opice na šesťdesiat dní. Jedna opica ochorela a musela ísť do izolačky na diétu. Na koľko dní vydržala prichystaná potrava zvyšným trom opiciam?
Riešenie:
4 opice = 60 dní
1 opica = 60 dní . 4 = 120 dní
3 opice = 120 dní : 3 = 40 dní
https://www.youtube.com/watch?v=7WsNqUofHUc
https://www.youtube.com/watch?v=1V79o3zr2VI&t=5s
Mierka mapy
1) Na mape s mierkou 1 : 200 000 sme odmerali vzdialenosť dvoch miest. Vzdialenosť dvoch miest na mape bola 5 cm. Koľko kilometrov je vzdialenosť týchto miest v skutočnosti?
Mierka 1 : 200 0000 predstavuje zmenšenie 200 000 cm na 1 cm na mape. Alebo naopak 1 cm na mape predstavuje v skutočnosti 200 000 cm v skutočnosti. Preto vynásobíme 5 cm . 200 000 = 1 000 000 cm = 10 km.
2) Akú vzdialenosť v centimetroch budú mať od seba miesta A a B na mape s mierkou 1 : 650 000, ak ich skutočná vzdialenosť je 13 km?
Najprv si premeníme 13 km = 1 300 000 cm. Následne vydelím 1 300 000 cm : 650 000 = 2 cm. Miesta A a B budú na mape s tou mierkou vzdialené od seba 2 cm.
3) Peter zistil, že skutočná vzdialenosť 1,5 km jeho školy od jeho domu je na mape zakreslená vzdialenosťou 3 cm. Vypočítaj mierku mapy, podľa ktorej je táto mapa zakreslená.
Mierka mapy je pomer dĺžky na mape ku skutočnej dĺžke - pozor! v rovnakých jednotkách. Preto si najprv premeníme 1,5 km = 150 000 cm. Potom si postavíme pomer 3 cm : 150 000 cm a ten následne vykrátime na základný tvar, čo značí, že obe čísla v pomere vydelíme 3 cm. Dostaneme 1 : 50 000.
https://www.youtube.com/watch?v=GK3K2tKiSOg
https://www.youtube.com/watch?v=ehhuBBXMtu8
https://www.youtube.com/watch?v=f9KUamkK2yM
Zložená trojčlenka
https://www.youtube.com/watch?v=kUnrEIeI0W0
1) Dvaja murári zateplia za 4 hodiny 20 metrov štvorcových plochy. Koľko metrov štvorcových plochy by zateplili traja murári za 2 hodiny?
2) Sedem študentov okope za 5 hodín 280 m2 jahôd. Koľko metrov štvorcových jahôd okope deväť brigádnikov za 7 hodín?
3) Štyria pracovníci opravia za 5 dni 100 metrov cesty. Za koľko dní opraví dvanásť pracovníkov 120 metrov cesty?
Úlohy na precvičenie
1) Výkony troch strojov sú v pomere 5 : 8 : 12. Koľko súčiastok vyrobil za hodinu stroj s najmenším výkonom , ak stroj s najväčším výkonom urobil za hodinu 432 výrobkov?
2) Ako nazývame trojuholník podľa veľkostí vnútorných uhlov a dĺžok strán, ak viete, že veľkosti jeho vnútorných uhlov sú v pomere 1 : 2 : 1?
3) Vypočítaj obvod trojuholníka, ktorého najkratšia strana meria 5 cm a pomer dĺžok strán trojuholníka je 2 : 3 : 4.
4) Rozmery obdĺžnikovej záhrady sú v pomere 5 : 3. Koľko potrebujeme metrov pletiva na jej oplotenie, ak vieme, že výmera tejto záhrady je 270 metrov štvorcových?
5) Kráľ rozdeli vrecia s dukátmi svojim trom synom. Najstrašiemu dal dvakrát viac ako prostrednému a najmladšiemu dal dvakrát menej ako prostrednému. V akom pomere rozdelil kráľ vrecia s dukátmi svojim synom?
6) Na pomarančovú limonádu pre dve osoby potrebujeme 4 pomaranče 4 decilitre minerálky a polovicu limetky. Koľko akých surovín budeme potrebovať, ak chce mreipraviť túto limonádu pre
a) 1 osobu b) 3 osoby c) desať osôb d) 5 osôb?
7) Z 3 kilogramov jabĺk sme získali 350 g sušených jabĺk. Koľko gramov sušených jabĺk získame
a) z 5 kilogramov jabĺk b) zo 6 kg jabĺk c) z 10 kg jabĺk d) z 1,5 kila jabĺk?
8) Na sirupe je napísané odporúčanie pre riedenie s vodou v pomere 1 : 8. Koľko litrov sirupovej vody získame pri dodržaní odporúčania na fľaši, ak do džbánu nalejeme 1 dl sirupu?
9) Aby maliar získal oranžovú farbu, zmiešal žltú a červenú farbu v pomere 3 : 5. Koľko žltej a červenej farby musel zmiešať, ak chcel získať 4 litre farby?
10) Ak zväčšíš číslo 25 o 20 %, v akom pomere bude zväčšené číslo ku pôvodnému číslu?
Pracovné listy na precvičenie z tejto témy nájdete na https://www.dobre-napady.sk/pre-skolakov/hrame-sa-s-cislami/pomer-umery-mierka-mapy
Pár testov z tejto témy na overenie svojich vedomostí môžete vyskúšať tu https://www.dobre-napady.sk/pre-skolakov/otestuj-sa/testy-pre-siedmakov